Поведение векторов на границах раздела сред

Тангенсальные составляющие векторов В и Н на границе раздела. Условия на границе раздела двух магнетиков: В соответсвии с теоремой Гаусса имеем: Bn2ΔS = 0.

1. Основные уравнения электростатического поля Прежде чем приступить к изложению численных методов расчета электростатического поля, запишем основные уравнения, устанавливающие связи между вектором напряженности электрического поля , вектором электрического смещения и истоками электрического поля т.е. зарядами.Поскольку в данной работе рассматривается только электростатическое поле, то будем считать, что эти векторы, так же как и заряды, являются функциями пространственных координат, но не функциями времени. Кроме того, мы ограничимся здесь рассмотрением системы уравнений для неподвижных сред, предполагая, что все находящиеся в них тела неподвижны.
Распределение электрического поля в пространстве определяется одним из уравнений Максвелла, устанавливающим связь между вектором электрического смещения и истоками поля . 1.1 Согласно уравнению 1.1 силовые линии вектора смещения начинаются и закачиваются на зарядах, плотность которых стоит в правой части уравнения 1.1. Уравнение 1.1 должно быть дополнено соотношением между векторами поля и диэлектрической проницаемостью среды . Условимся в дальнейшем считать, что значения , заданные в каждой точке поля, остаются постоянными во времени, не зависят от напряженности поля, но могут быть кусочно-постоянными в пространстве, т.е. могут изменяться скачком при переходе из одной среды в другую, оставаясь постоянными в пределах каждой среды.
Тела с остаточной поляризованностью, а также анизотропные среды, из нашего рассмотрения исключаются. При этих условиях для каждого момента времени имеем , 1.2 где 8,8510-12 Фм электрическая постоянная.
Кроме того, уравнения 1.1 и 1.2 необходимо дополнить граничными условиями для векторов и . Так как значения параметра могут изменяться скачком при переходе через поверхность раздела двух сред, то на этих поверхностях теряют смысл пространственные производные div в уравнении 1.1. На поверхностях раздела должны удовлетворятся следующие граничные условия , 1.3 т.е. при переходе из среды 1 в среду 2 тангенциальная составляющая вектора напряженности электрического поля сохраняется, если плотность объемного заряда конечна , 1.4 т.е. при переходе из среды 1 в среду 2 нормальная составляющая вектора электрического смещения изменяется на величину плотности поверхностного заряда на границе раздела.
В уравнениях 1.11.4 предполагается, что вектор нормали к границе раздела направлен из 1-й среды во 2-ю. Рассмотрим поведение электрического поля на границе раздела диэлектрик-проводник.
Такие задачи типичны для расчета электрического поля, создаваемого в диэлектриках высоковольтными и заземленными металлическими проводящими частями электроэнергетического оборудования. При этом , и напряженность электрического поля во 2-й среде с большим значением диэлектрической проницаемости и проводимости проводнике оказывается близкой к нулю, а весь заряд проводящих частей конструкций оказывается распределенным по их поверхностям.Тогда на границе раздела двух сред тангенциальная составляющая вектора напряженности электрического поля равна нулю , 1.5 а нормальная составляющая определяется как , 1.6 где поверхностная плотность заряда на поверхности проводника.

Рассмотрим простой случай (рис. 4.12): два бесконечно протяженных диэлектрика с ε1 и ε2, имеющих общую границу раздела, пронизывает внешнее  Объединим рисунки 4.12 и 4.13 и проиллюстрируем на рисунке 4.14 закон преломления для векторов и .

Электростатическое поле. В рассматриваемых здесь условиях электрическое поле неизменно во времени, его источники неподвижны определенный интеграл вектора напряженности электрического поля вдоль линии, соединяющей некоторые точки A и B, не зависит от выбора пути интегрирования.
Этот интеграл называется электрическим напряжением между точками A и B. В таком случае вводится функция координат , называемая скалярным потенциалом электрического поля, разность значений которой в точках A и B равна напряжению между этими точками, т.е Тогда потенциал поля можно найти как неопределенный интеграл . Это позволяет дать точное определение скалярного потенциала как функции, у которой взятая со знаком минус частная производная по некоторому направлению равна составляющей вектора напряженности электрического поля в этом направлении.
Отсюда следует, что вектор напряженности электрического поля и скалярный потенциал связаны соотношением . 1.7 В таком случае, если в некотором электрическом поле известно распределение потенциала в пространстве, то вектор может быть определен по трем своим составляющим. Так, например, в декартовых координатах, если , то и . Введение скалярного потенциала электрического поля позволяет существенно упростить расчет распределения электрического поля. Как известно, дивергенция вектора выражается в общем случае через частные производные всех трех его составляющих.
Поэтому, если в пространстве задано распределение , то найти вектор и в соответствии с соотношением 1.2 вектор непосредственно из уравнения 1.1 можно только в простейших случаях, когда вектор имеет, например, только одну составляющую.В общем же случае решение становится возможным с помощью потенциала, позволяющего исключить из уравнений 1.1 и 1.2 векторы и , и получить связь между потенциалом плотностью заряда . Исключить вектор из уравнения 1.1 можно за счет постановки выражения 1.7 в соотношение 1.2 . Подставляя полученное соотношение в уравнение 1.1 получаем . Как было сказано выше, мы ограничиваемся рассмотрением задач, в которых среда является кусочно-однородной, т.е. состоящей из участков, с постоянной диэлектрической проницаемостью в пределах данного участка.

12. Потенциал ЭП (примеры расчета). 13. Потенциал простого заряженного слоя, его свойства. 14. Потенциал объемно-поляризованной среды. 15. Поведение векторов ЭП на границах раздела сред.

Для каждого такого однородного участка можно вынести за знак дивергенции.
Тогда , или , 1.8 где . Уравнение 1.8 называется уравнением Пуассона.В подавляющем большинстве случаев электрические поля создаются заряженными проводниками. В этом случае все заряды являются поверхностными, т.е. они распределены по поверхностям проводников, являющимися границами электрического поля. Поле существует только в диэлектрике, а внутри проводников напряженность поля равна нулю иначе в проводнике был бы ток. В этом случае плотность объемного заряда равна нулю и после описывается уравнением Лапласа . 1.9 Как было отмечено выше, тангенциальная составляющая напряженности электрического поля на поверхности проводника равна нулю 1.5. Это означает, что силовые линии перпендикулярны поверхности проводника и потенциал вдоль поверхности не изменяется.
Но потенциал не может меняться и вглубь проводника.Поэтому в электростатическом поле для поверхности проводника справедливо граничное условие , 1.10 позволяющее говорить о постоянстве потенциала всего проводника. Таким образом, электростатическое поле в любой области пространства, в которой диэлектрическая проницаемость среды постоянна, описывается уравнением Пуассона 1.8 относительно скалярного потенциала или эквивалентными ему уравнениями 1.1 и 1.2 относительно вектора напряженности поля . Связь между и устанавливается соотношением 1.7. На границах раздела между областями пространства с различными значениями выполняются граничные условия 1.3 и 1.4. На поверхностях проводников выполняется условие 1.5, из которого вытекает условие эквипотенциальности поверхности проводника 1.10. 2. Расчет простейших электростатических полей методом изображений 3. Интегральные методы расчета электростатических полей 3.1. Общая характеристика интегральных методов Интегральные методы расчета электростатических полей развивают идею, заложенную в методе изображений, в котором поля реальных проводящих тел моделируются полями систем простейших зарядов точечных или линейных, а значения последних находятся из условия эквипотенциальности поверхности проводников.
Идея интегральных методов заключается в следующем.
Реальные распределения заряда по поверхностям тел полеобразующей системы замещаются фиктивными распределениями по некоторым поверхностям, лежащим внутри реальных тел. Эти фиктивные распределения заряда определяются из условия эквипотенциальности поверхности проводников 1.10, а также из условий неразрывности тангенциальной составляющей вектора напряженности электрического поля 1.3 и нормальной составляющей вектора электрического смещения 1.4 на границах раздела диэлектриков.
Рассмотрим суть интегральных методов на примере расчета электростатического поля проводящего тела, помещенного в однородную среду с диэлектрической проницаемостью , которое ограничено поверхностью , и к которому приложено напряжение V рис. 3.1. Рис. 3.1. К расчету электростатического поля интегральным методом.
Пусть внутри тела по поверхности распределен заряд с неизвестной плотностью . Рассчитаем потенциал, наведенный этим распределенным зарядом в произвольной точке B поверхности . Для этого на поверхности возьмем произвольную точку A и выделим в ее окрестности бесконечно малую площадку , плотность заряда на которой обозначим . Тогда потенциал в точке B определяется как . Поскольку в любой точке поверхности проводника должно выполняться условие равенства потенциала его поверхности приложенному напряжению, то получаем следующее интегральное уравнение относительно неизвестного распределения заряда по поверхности . 3.1 После того, как из уравнения 3.1 определяется распределение , можно рассчитать параметры поля в любой точке пространства.
Интегральные методы расчета электростатических полей разделяют по способу размещения фиктивной поверхности внутри поверхности 1. Поверхность целиком располагается внутри поверхности , нигде не пересекаясь с последней.
Соответствующий метод называется методом эквивалентных зарядов МЭЗ. Чтобы упростить его реализацию, в большинстве случаев распределение заряда по поверхности полагается не непрерывным, а дискретным.
Это означает, что на поверхности размещаются точечные, линейные, кольцевые или какие-либо иные сосредоточенные эквивалентные заряды ЭЗ. Выбор их конкретного вида определяется формой тела. 2. Поверхность целиком совпадает с поверхностью . Соответствующий метод называется методом интегральных уравнений МИУ. Таким образом, в МИУ заряд полагается распределенным по поверхности тела . Ниже методы эквивалентных зарядов и интегральных уравнений будут рассмотрены более подробно. 3.2. Метод эквивалентных зарядов Как было сказано выше, метод эквивалентных зарядов основан на замещении ре

В действительности граница раздела представляет собой не геометрическую  У е S. Так как одновременно эти векторы на границы заданы быть не могут, то формула  В этой же главе исследовано поведение капли в неоднородном пульсационном потоке

Из данных граничных условий можно получить еще одно условие – условие преломления линий поля при переходе их из одного  q1 и q2 – углы между вектором напряженности (или смещения) и нормалями к границе раздела сред.

Условия на границе двух диэлектриков. Рассмотрим поведение векторов E и D на границе раздела однородных изотропных диэлектриков. Рис. 5.5.